机器人的动力学：拉格朗日法

机器人的动力学主要研究和分析作用于机器人上的力和力矩。为了使机器人加速运动， 驱动器需要提供足够的力和力矩来驱动机器人运动。通过建立机器人的动力学方程来确定 力、质量和加速度以及力矩、转动惯量和角加速度之间的关系，并计算出完成机器人特定运 动时各驱动器所需的驱动力。通过机器人动力学分析，设计者可依据机器人的外部载荷计算 出机器人的Z大载荷，进而为机器人选择合适的驱动器。

如同运动学，动力学也有两个相反的问题。动力学正问题是已知机械手各关节的作用力 或力矩，求各关节的位移、速度和加速度，即运动轨迹。动力学逆问题是已知机械手的运动 轨迹，即各关节的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或力矩。

随着工业机器人向高精度、高速、重载及智能化方向发展，对机器人设计和控制方面的 要求更高了，尤其是对控制方面，机器人要求动态实时控制的场合越来越多了，所以机器人 的动力学分析尤为重要。本章以工业机器人为例讨论工业机器人的动力学。

工业机器人是复杂的动力学系统，由多个连杆和多个关节组成，具有多个输入和多个输 出，存在着错综复杂的耦合关系和严重的非线性。目前，常用的方法有拉格朗日 (Lagrange) 和牛顿-欧拉 (Newton-Euler) 等方法。其中，牛顿-欧拉法是基于运动坐标系 和达朗贝尔原理来建立相应的运动方程，是力的动态平衡法。当用此法时，需从运动学出发 求得加速度，并消去各内作用力。对于较复杂的系统，此种分析方法十分复杂与麻烦。拉格 朗日法是功能平衡法，它只需要速度而不必求内作用力。因此，这是一种直截而简便的 方 法 。

下面介绍拉格朗日动力学方程。

拉格朗日函数L被定义为系统的动能K 和势能P 之差，即 L=K 一P 式中 K—— 机器人手臂的总动能；

P—— 机器人手臂的总势能。 机器人系统的拉格朗日方程为